Question

（2013•濟南二模）已知數列{a_n}滿足a₁=3，an+1-3an=3n(n∈N*)，數列{b_n}滿足bn=

an

3n

．
（1）證明數列{b_n}是等差數列并求數列{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由bn=

an

3n

，可得bn+1=

an+1

3n+1

，然后檢驗b_n+1-b_n是否為常數即可證明，進而可求其通項
（2）由題意可先求a_n，結合數列的通項的特點，考慮利用錯位相減求和即可求解

解答：解（1）證明：由bn=

an

3n

，得bn+1=

an+1

3n+1

，
∴bn+1-bn=

an+1

3n+1

-

an

3n

=

1

3

---------------------（2分）
所以數列{b_n}是等差數列，首項b₁=1，公差為

1

3

-----------（4分）
∴bn=1+

1

3

(n-1)=

n+2

3

------------------------（6分）
（2）an=3nbn=(n+2)×3n-1-------------------------（7分）
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=3×1+4×3+…+（n+2）×3^n-1----①
∴3Sn=3×3+4×32+…+(n+2)×3n-------------------②（9分）
①-②得-2Sn=3×1+3+32+…+3n-1-(n+2)×3n
=2+1+3+3²+…+3^n-1-（n+2）×3ⁿ=

3n+3

2

-(n+2)×3n------（11分）
∴Sn=-

3n+3

4

+

(n+2)3n

2

-----------------（12分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式證明等差數列，及等差數列的通項公式的應用，數列的錯位相減求和方法的應用．