Question

（2013•成都一模）已知函數f（x）=

2x2 x+2 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 2 x+ 1 4 ，x∈[0， 1 2 ]

，g（x）=asin（

π

3

x+

3π

2

）-2a+2（a＞0），給出下列結論：
①函數f（x）的值域為[0，

2

3

]；
②函數g（x）在[0，1]上是增函數；
③對任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]內恒有解；
④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數a的取值范圍是

4

9

≤a≤

4

5

．
其中所有正確結論的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：①由于f（x）=

2x2 x+2 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 2 x+ 1 4 ，x∈[0， 1 2 ]

，當

1

2

＜x≤1時，f（x）=2[（x+2）+

4

x+2

]-8，利用雙鉤型函數h（z）=2（z+

4

z

）-8在z∈（

5

2

，3]上單調遞增，可求f（x）的值域為（

1

5

，

2

3

]；當x∈[0，

1

2

]時，利用f（x）=-

1

2

x+

1

4

為減函數，可求f（x）的值域為[0，

1

4

]，從而可判斷①的正誤；
對于②，可求g（x）=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0），由0≤x≤1，可判斷y=-cosx在[0，

π

3

]上單調遞增，而a＞0，從而可判斷函數g（x）在[0，1]上是增函數；
對于③，由g（x）=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0）知，2-3a≤-acos

π

3

x-2a+2≤2-

5

2

a，不妨令a=10，可求得g（x）∈（-28，-23），從而可判斷③錯誤；
對于④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則0≤2-3a≤

2

3

或0≤2-

5

2

a≤

2

3

，從而可求得a的范圍，可判斷其正誤．

解答：解：∵

1

2

＜x≤1時，f（x）=

2x2

x+2

=

2[(x+2)-2]2

x+2

=2[（x+2）+

4

x+2

]-8
而

5

2

＜x+2≤3，令z=x+2，則z∈（

5

2

，3]，
雙鉤型函數h（z）=2（z+

4

z

）-8在z∈（

5

2

，3]上單調遞增，
∴h（

5

2

）=

41

5

-8=

1

5

，h（z）_max=h（3）=

2

3

，
∴當x∈（

1

2

，1）時，f（x）的值域為（

1

5

，

2

3

]；
當x∈[0，

1

2

]時，f（x）=-

1

2

x+

1

4

為減函數，f（x）的值域為[0，

1

4

]；
∴函數f（x）的值域為[0，

2

3

]，故①正確；
對于②，g（x）=asin（

π

3

x+

3π

2

）-2a+2=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0），
∵0≤x≤1，
∴0≤

π

3

x≤

π

3

，
∵y=cosx在[0，

π

3

]上單調遞減，
∴y=-cosx在[0，

π

3

]上單調遞增，又a＞0，
∴g（x）=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0）在[0，1]上是增函數，故②正確；
對于③，由g（x）=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0）知，
當0≤x≤1時，0≤

π

3

x≤

π

3

，

1

2

≤cos

π

3

x≤1，又a＞0，
∴-a≤-acos

π

3

x≤-

a

2

，
∴2-3a≤-acos

π

3

x-2a+2≤2-

5

2

a．
不妨令a=10，g（x）∈（-28，-23），而f（x）的值域為[0，

2

3

]，顯然f（x）≠g（x），故③錯誤；
④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
則0≤2-3a≤

2

3

或0≤2-

5

2

a≤

2

3

，
解得

4

9

≤a≤

2

3

或

8

15

≤a≤

4

5

，由于

8

15

＜

2

3

，
∴[

4

9

，

2

3

]∪[

8

15

，

4

5

]=[

4

9

，

4

5

]．
故④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查復合三角函數的單調性，考查函數的值域，考查三角函數的誘導公式及綜合應用，屬于難題．