Question

設函數f(x)=ex-

k

2

x2-x．
（1）若k=0，求f（x）的最小值；
（2）若當x≥0時f（x）≥1，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將k的值代入f（x），求出f（x）的導函數，令導函數大于0求出函數的單調遞增區間，令導函數小于0求出函數的單調遞減區間，求出函數的最小值．
（2）求出f（x）的導函數，再求出導函數的導數，通過對k的討論，判斷出二階導數的符號，判斷出f（x）的導函數的最值，從而判斷出導函數的符號，得到f（x）的單調性，求出f（x）的最小值，令最小值大于1，列出不等式求出k的范圍．

解答：解：（1）k=0時，f（x）=e^x-x，
f'（x）=e^x-1．
當x∈（-∞，0）時，f'（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，0）上單調減小，在（0，+∞）上單調增加
故f（x）的最小值為f（0）=1
（2）f'（x）=e^x-kx-1，
f''（x）=e^x-k
當k≤1時，f''（x）≥0（x≥0），
所以f'（x）在[0，+∞）上遞增，
而f'（0）=0，
所以f'（x）≥0（x≥0），
所以f（x）在[0，+∞）上遞增，
而f（0）=1，
于是當x≥0時，f（x）≥1．
當k＞1時，
由f''（x）=0得x=lnk
當x∈（0，lnk）時，f''（x）＜0，所以f'（x）在（0，lnk）上遞減，
而f'（0）=0，于是當x∈（0，lnk）時，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，lnk）上遞減，
而f（0）=1，所以當x∈（0，lnk）時，f（x）＜1．
綜上得k的取值范圍為（-∞，1]．

點評：本題考查導數在最大值與最小值問題中的應用，解題的關鍵是利用導數研究出函數的單調性，判斷出函數的最值，本題第二小題是一個恒成立的問題，恒成立的問題一般轉化最值問題來求解，本題即轉化為用單調性求函數在閉區間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數的取值．