Question

已知非零向量

OA

、

OB

、

OC

、

OD

滿足：

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

(α，β，γ∈R)，B、C、D為不共線三點，給出下列命題：
①若α=

3

2

，β=

1

2

，γ=-1，則A、B、C、D四點在同一平面上；
②當α＞0，β＞0，γ=

2

時，若|

OA

|=

3

，|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|=1，＜

OB

，

OC

＞=

5π

6

，＜

OD

，

OB

＞=＜

OD

，

OC

＞=

π

2

，則α+β的最大值為

6

-

2

；
③已知正項等差數列a_n（n∈N*），若α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三點共線，但O點不在直線BC上，則

1

a3

+

4

a2008

的最小值為9；
④若α+β=1（αβ≠0），γ=0，則A、B、C三點共線且A分

BC

所成的比λ一定為

α

β

．
其中你認為正確的所有命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：①根據空間四點共面的充要條件若

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

(α，β，γ∈R)且α+β+γ=1，則A、B、C、D四點在同一平面上；可知①正確；②把

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

兩邊平方，化成3=α²+β2+2-

3

αβ，即=（α+β）²-（2+

3

）αβ+2，利用基本不等式即可求得α+β的最大值為4+2

3

，，故可知②錯；③根據α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三點共線，可得a₂+a₂₀₀₉=1，利用等差數列的性質可得a₃+a₂₀₀₈=1，利用基本不等式即可求得結果；④根據三點共線的充要條件可知

OA

=α

OB

+β

OC

且α+β=1，則A、B、C三點共線，而A分

BC

所成的比λ一定為

α

β

錯，如點A在線段BC的延長線上，且BA=

4

3

，λ=-3，而此時的

α

β

=-

1

4

，因此錯．

解答：解：①若α+β+γ=1，則A、B、C、D四點在同一平面上；①正確；
②

OA

=α

OB

+β

OC

+

2

OD

，兩邊平方得，3=α²+β2+2-

3

αβ
=（α+β）²-（2+

3

）αβ+2≥（α+β）²-（2+

3

）

(α+β)2

4

+2，
∴α+β≤4+2

3

，當且僅當α=β=2+

3

時等號成立，故②錯；
③若α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三點共線，
∴a₂+a₂₀₀₉=1，∴a₃+a₂₀₀₈=1，則

1

a3

+

4

a2008

=（

1

a3

+

4

a2008

）（a₃+a₂₀₀₈）≥5+4=9．③對．
④若α+β=1（αβ≠0），γ=0，則A、B、C三點共線，
若點A在線段BC的延長線上，且BA=

4

3

，λ=-3，
而

OA

=

OB

+

BA

=

OB

+

4

3

BC

=

OB

+

4

3

(

OC

-

OB

)=- 

1

3

OB

 +

4

3

OC

，
∴α=-

1

3

，β=

4

3

，∴

α

β

=-

1

4

，
故④錯
故答案為①③．

點評：此題是個中檔題，綜合題．考查共面向量和共線向量定理以及利用基本不等式求最值等基礎知識和基本方法，要說明一個命題是真命題，必須給出證明，要說明其是假命題，只要舉出反例即可，同時考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和計算能力．