Question

（2006•朝陽區二模）設對于任意實數x、y，函數f（x）、g（x）滿足f(x+1)=

1

3

f(x)，且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+2y，g（5）=13，n∈N^*．
（Ⅰ）求數列{f（n）}、{g（n）}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=g[

n

2

f(n)]，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：取x=n，得f（n+1）=

1

3

f（n），取x=0，得f(1)=

1

3

f(0)=1，故數列{f（n）}為等比數列，取x=n，y=1，得g（n+1）-g（n）=2，故數列{g（n）}是等差數列，進而得到答案．
（Ⅱ）由題意可得：C_n=g[

n

2

f(n)]=g[

n

2

(

1

3

)n-1]=n(

1

3

)n-1+3，然后利用錯位相減的方法求出數列的前n項和．

解答：解：（Ι）取 x=n，則f(n+1)=

1

3

f(n)，取x=0，得f(1)=

1

3

f(0)=1．
故{f（n）}是首項為1，公比為

1

3

的等比數列，∴f（n）=(

1

3

)n-1．
取x=n，y=1，得g（n+1）=g（n）+2 （n∈N^*），即g（n+1）-g（n）=2．
∴g（n）公差為2的等差數列．
又g（5）=13，
因此g（n）=13+2（n-5）=2n+3，即g（n）=2n+3．
（ΙΙ）c_n=g[

n

2

f(n)]=g[

n

2

(

1

3

)n-1]=n(

1

3

)n-1+3． 
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=1+2(

1

3

)+3(

1

3

)2+4(

1

3

)3+…+(n-1)(

1

3

)n-2+n(

1

3

)n-1+3n，
則

1

3

Sn=

1

3

+2(

1

3

)2+3(

1

3

)3+…+(n-1)(

1

3

)n-1+n(

1

3

)n+n，
兩式相減得，

2

3

Sn=1+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1-n(

1

3

)n+2n=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

-n(

1

3

)n+2n=

3

2

[1-(

1

3

)n]-n(

1

3

)n+2n，
∴Sn=

9

4

[1-(

1

3

)n]-

3n

2

(

1

3

)n+3n=

9

4

-

3

4

(

1

3

)n-1-

n

2

(

1

3

)n-1+3n=

9

4

+3n-

2n+3

4

•(

1

3

)n-1．

點評：解決此類問題的關鍵是利用函數的賦值法求出數列的通項公式，掌握數列通項公式求出的方法以及求數列和的最值的方法，此題是數列與函數的綜合題型屬于難題．