Question

設f（x）是偶函數，且當x≥0時，f（x）=

x(3-x)       ，0≤x≤3 (x-3)(a-x)      ，x＞3

．
（1）當x＜0時，求f（x）的解析式；
（2）設函數f（x）在區間[-5，5]上的最大值為g（a），試求g（a）的表達式；
（3）若方程f（x）=m有四個不同的實根，且它們成等差數列，試探求a與m滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）設-3≤x＜0、x＜-3，利用已知函數的解析式，即可求得結論；
（2）因為f（x）是偶函數，所以它在區間[-5，5]上的最大值即為它在區間[0，5]上的最大值，分類討論，即可求得結論；
（3）設這四個根從小到大依次為x₁，x₂，x₃，x₄，則當方程f（x）=m在[-3，3]上有四個實根時，由x₄-x₃=2x₃，且x₄+x₃=3，得x₃=

3

4

，x₄=

9

4

，從而m=f（

3

4

）=

27

16

，且要求f（x）＜

27

16

對x∈（3，+∞）恒成立，由此可得結論．

解答：解：（1）當-3≤x＜0時，f（x）=f（-x）=（-x）（3+x）=-x（x+3）…（2分）
同理，當x＜-3時，f（x）=f（-x）=（-x-3）（a+x）=-（x+3）（a+x），
所以，當x＜0時，f（x）的解析式為f（x）=

-x(x+3)，-3≤x＜0 -(x+3)(a+x)，x＜-3

…（4分）
（2）因為f（x）是偶函數，所以它在區間[-5，5]上的最大值即為它在區間[0，5]上的最大值，
①當a≤3時，f（x）在[0，

3

2

]上單調遞增，在[

3

2

，+∞）上單調遞減，所以g（a）=f（

3

2

）=

9

4

…（5分）
②當3＜a≤7時，f（x）在[0，

3

2

]與[3，

3+a

2

]上單調遞增，在[

3

2

，3]與[

3+a

2

，5]上單調遞減，
所以此時只需比較f（

3

2

）=

9

4

與f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

的大小．
1°當3＜a≤6時，f（

3

2

）=

9

4

≥f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

，所以g（a）=f（

3

2

）=

9

4

…（6分）
2°當6＜a≤7時，f（

3

2

）=

9

4

＜f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

，所以g（a）=f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

…（7分）
3°當a＞7時，f（x）在[0，

3

2

]與[3，5]上單調遞增，在[

3

2

，3]上單調遞減，且f（

3

2

）=

9

4

＜f（5）=2（a-5），所以g（a）=f（5）=2（a-5）…（8分）
綜上所述，g（a）=

9 4 ，a≤6 (a-3)2 4 ，6＜a≤7 2(a-5)，a＞7

…（9分）
（3）設這四個根從小到大依次為x₁，x₂，x₃，x₄．
當方程f（x）=m在[-3，3]上有四個實根時，由x₄-x₃=2x₃，且x₄+x₃=3，得x₃=

3

4

，x₄=

9

4

從而m=f（

3

4

）=

27

16

，且要求f（x）＜

27

16

對x∈（3，+∞）恒成立…（10分）
1°當a≤3時，f（x）在（3，+∞）上單調遞減，所以f（x）＜f（3）=0＜

27

16

對x∈（3，+∞）恒成立，即a≤3適合題意…（11分）
2°當a＞3時，欲f（x）＜

27

16

對x∈（3，+∞）恒成立，只要f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

＜

27

16

，解得a＜3+

3 3

2

，故此時應滿足3＜a＜3+

3 3

2

…（12分）
綜上所述，a與m滿足的條件為m=

27

16

且a＜3+

3 3

2

．

點評：本題考查函數解析式的確定，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，考查數列與函數的結合，屬于中檔題．