Question

已知M、N分別是正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱B₁C₁和B₁B的中點.

(1)求MN與A₁C₁所成角的大小；

(2)求MN與平面ACC₁A₁所成角的大小.

Answer 1

解析：方法一：如圖甲，(1)連結BC₁、A₁B.

                甲

∵M、N分別是B₁C₁、B₁B的中點，

∴MN∥BC₁.

∴∠A₁C₁B是MN與A₁C₁所成的角(或其補角).

    而△A₁BC₁為等邊三角形，

∴∠A₁C₁B=60°.

∴MN與A₁C₁成60°角.

(2)由(1)可知MN∥BC₁，

∴MN與平面A₁C所成角等于BC₁與平面A₁C所成角.

    連結BD，AC∩BD=O，易證BO⊥平面A₁C.

∴∠BC₁O為BC₁與平面A₁C所成角.

    設正方體棱長為a,則BO=a,BC₁=a.

∴∠BC₁O=30°.

∴MN與平面AC₁所成角為30°.

方法二：(1)設正方體的棱長為1，建立直角坐標系D—xyz(如圖乙).

                   乙

    則A₁(1,0,1),C₁(0,1,1),M(,1,1),N(1,1,).∴=(,0,-),=(-1,1,0).

∴cos〈,〉

===-.

∴〈,〉=120°.

    而異面直線所成角在(0，90°］內，

∴MN與A₁C₁成60°角.

(2)設平面A₁C的法向量n=(1,α,β),則n⊥,(1,α,β)·(0，0，1)=0，

∴β=0.

    又n⊥.

∴(1,α,β)·(-1,1,0)=0.

∴a=1.

∴n=(1,1,0).

∴cos〈n, 〉==.

∴〈n, 〉=60°.

∴MN與面AC₁成30°角.