Question

設直線（L）的參數方程是

x=t y=b+mt

（t是參數）橢圓（E）的參數方程是

x=1+acosθ，(a≠0) y=sinθ

（θ是參數）問a、b應滿足什么條件，使得對于任意m值來說，直線（L）與橢圓（E）總有公共點．

Answer 1

分析：首先題中的直線方程及橢圓方程都是參數方程的形式，需要消去參數化簡為一般方程，然后求公共點問題，考慮到聯立方程式由求判別式的方法求取值范圍即可得到答案．

解答：解：對于直線（L）

x=t   y=b+mt

消去參數，得一般方程y=mx+b；
對于橢圓（E）

x=1+acosθ，(a≠0) y=sinθ

消去參數，得一般方程

(x-1)2

a2

+y2=1．：
消去y，整理得（1+a²m²）x²+2（a²mb-1）x+a²b²-a²+1=0．
（L）、（E）有交點的條件是上式的判別式≥0，即（a²mb-1）²-（1+a²m²）（a²b²-a²+1）≥0．
化簡并約去a²得（a²-1）m²-2bm+（1-b²）≥0．對任意m的值，要使這個式子永遠成立，條件是
(1)

a2-1＞0 b2-(a2-1)(1-b2)≤0

或(2)

a2-1=0 b=0

解得(1)

|a＞1| - a2-1 |a ≤b≤ a2-1 |a|

或(2)

|a|=1 b=0

或（1）、（2）合寫成：

|a|≥1 - a2-1 |a| ≤b≤ a2-1 |a|

即所求的條件．
故答案為

|a|≥1 - a2-1 |a| ≤b≤ a2-1 |a|

．

點評：此題主要考查直線及橢圓參數方程化簡一般方程的問題，其中對于求公共點的問題可以把方程聯立，然后根據判別式法求得取值范圍，屬于綜合性試題，有一定的計算量．