Question

近年來，網(wǎng)上購物已經(jīng)成為人們消費的一種趨勢．假設(shè)某淘寶店的一種裝飾品每月的銷售量y（單位：千件）與銷售價格x（單位：元/件）滿足關(guān)系式y=

m

x-2

+4(x-6)2，其中2＜x＜6，m為常數(shù)，已知銷售價格為4元/件時，每月可售出21千件．
（1）求m的值；  
（2）假設(shè)該淘寶店員工工資、辦公等每月所有開銷折合為每件2元（只考慮銷售出的件數(shù)），試確定銷售價格x的值，使該店每月銷售飾品所獲得的利潤最大．（結(jié)果保留一位小數(shù)）

Answer 1

分析：（1）把x=4，y=21代入關(guān)系式y=

m

x-2

+4(x-6)2，其中2＜x＜6，m為常數(shù)，即可解出m；
（2）利用可得每月銷售飾品所獲得的利潤f（x）=（x-2）[

10

x-2

+4(x-6)2]，利用導(dǎo)數(shù)研究其定義域上的單調(diào)性與極值最值即可得出．

解答：.解：（1）∵x=4時，y=21，
代入關(guān)系式y=

m

x-2

+4(x-6)2，得

m

2

+16=21，
解得m=10．
（2）由（1）可知，飾品每月的銷售量y=

10

x-2

+4(x-6)2，
∴每月銷售飾品所獲得的利潤f(x)=(x-2)[

10

x-2

+4(x-6)2]=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2＜x＜6)，
從而 f'（x）=12x²-112x+240=4（3x-10）（x-6）（2＜x＜6），
令f'（x）=0，得x=

10

3

，且在(2，

10

3

)上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
在(

10

3

，6)上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴x=

10

3

是函數(shù)f（x）在（2，6）內(nèi)的極大值點，也是最大值點，
∴當x=

10

3

≈3.3時，函數(shù)f（x）取得最大值．即銷售價格為3.3元/件時，該店每月銷售飾品所獲得的利潤最大．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值解決實際問題，屬于難題．