Question

已知直線l：kx-y+1+2k=0．
（1）證明：直線l過定點；
（2）若直線l交x負半軸于A，交y正半軸于B，△AOB的面積為S，試求S的最小值并求出此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）直線l過定點，說明定點的坐標與參數(shù)k無關(guān)，故讓k的系數(shù)為0 可得定點坐標．
（2）求出A、B的坐標，代入三角形的面積公式化簡，再使用基本不等式求出面積的最小值，
注意等號成立條件要檢驗，求出面積最小時的k值，從而得到直線方程．

解答：解：（1）證明：由已知得k（x+2）+（1-y）=0，
∴無論k取何值，直線過定點（-2，1）．
（2）令y=0得A點坐標為（-2-

1

k

，0），
令x=0得B點坐標為（0，2k+1）（k＞0），
∴S_△AOB=

1

2

|-2-

1

k

||2k+1|
=

1

2

（2+

1

k

）（2k+1）=（4k+

1

k

+4）
≥

1

2

（4+4）=4．
當(dāng)且僅當(dāng)4k=

1

k

，即k=

1

2

時取等號．
即△AOB的面積的最小值為4，此時直線l的方程為

1

2

x-y+1+1=0．
即x-2y+4=0

點評：本題考查過定點的直線系方程特征，以及利用基本不等式求式子的最小值．