Question

已知函數，f（x）=x，g(x)=

3

8

x2+lnx+2．
（Ⅰ） 求函數F（x）=g（x）-2•f（x）的極大值點與極小值點；
（Ⅱ） 若函數F（x）=g（x）-2•f（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零點，求t的最大值（e為自然對數的底數）；
（Ⅲ） 設bn=f(n)

1

f(n+1)

（n∈N^*），試問數列{b_n}中是否存在相等的兩項？若存在，求出所有相等的兩項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把f（x）=x，g(x)=

3

8

x2+lnx+2代入F（x）=g（x）-2•f（x），求出F（x）解析式，再利用導數求極大值點與極小值點．
（Ⅱ）由（1）可求出數列的幾個單調區間，分別考慮函數在每個單調區間上是否有零點即可求出[e^t，+∞）（t∈Z）的可能情況，進而，求t的最大值．
（Ⅲ）先根據bn=f(n)

1

f(n+1)

（n∈N^*），以及f（x）=x，求出數列{b_n}的通項公式，再根據導數，判斷數列{b_n}是先增后減的，再求出數列遞增的幾項，與后面項相比較，就可判斷是否存在相等的兩項．

解答：解：（Ⅰ）由題知：F(x)=

3

8

x2+lnx+2-2x的定義域為（0，+∞）
∵F′(x)=

(3x-2)(x-2)

4x

∴函數F（x）的單調遞增區間為(0，

2

3

]和[2，+∞)，F（x）的單調遞減區間為[

2

3

，2]，
所以x=

2

3

為F（x）的極大值點，x=2為F（x）的極小值點．
（Ⅱ）∵F（x）在x∈[

2

3

，+∞)上的最小值為F（2）
且F（2）=

3

8

×22-4+2+ln2=ln2-

1

2

=

ln4-1

2

＞0
∴F（x）在x∈[

2

3

，+∞)上沒有零點，
∴函數F（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零點，并考慮到F（x）在(0，

2

3

]單調遞增且在[

2

3

，2]單調遞減，故只須et＜

2

3

且F（e^t）≤0即可，易驗證F(e-1)=

3

8

•e-2+1-2e-1＞0，F(e-2)=

3

8

•e-4+lne-2+2-2e-2=

1

e2

(

3

8

•e-2-2)＜0，當t≤-2且t∈Z時均有F（e^t）＜0，所以函數F（x）在[e^t，e^-1）（t∈Z）上有零點，
即函數F（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零點，∴t的最大值為-2．
（Ⅲ）利用導數易證，當x＞0時，所以(1+x)

1

x

＜e．  因為bn=n

1

n+1

，所以

(bn+1)(n+1)(n+2

(bn)(n+1)(n+2)

=

(n+1)n+1

nn+2

=

n+1

n2

•(1+

1

n

)n＜

e(n+1)

n2

＜

3(n+1)

n2

令

3(n+1)

n2

＜1，得：n²-3n-3＞0，結合n∈N^*得：n≥4
因此，當n≥4時，有

(bn+1)(n+1)(n+2)

(bn)(n+1)(n+2)

＜1，
所以當n≥4時，b_n＞b_n+1，即：b₄＞b₅＞b₆＞…，
又通過比較b₁、b₂、b₃、b₄的大小知：b₁＜b₂＜b₃＜b₄，
因為b₁=1，且n≠1時bn=n

1

n+1

≠1，所以若數列{b_n}中存在相等的兩項，只能是b₂、b₃與后面的項可能相等，又b2=2

1

3

=8

1

9

=b8，b3=3

1

4

＞b5=5

1

6

，所以數列{b_n}中存在唯一相等的兩項，
即：b₂=b₈．

點評：本題前兩問考查了利用導數求極值和最值，第三問考查導數與數列相結合的問題，綜合性強，需認真解答．