Question

下列有關命題的說法正確的是（　　）

• A．命題P：?X∈R，f（X）=cos²x+

  3

  sin2x≤3，則-p：?x∈R，f(x)=2cos2x+

  3

  sin2x≤3，且原命題p是真命題
• B．命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為假命題
• C．已知p：

  1

  x+1

  ＞0，則?p：

  1

  x+1

  ≤0
• D．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則a＜b?cos²A＞cos²B

Answer 1

分析：A，由全稱命題得到存在性命題，要注意形式；B，原命題與逆否命題同真假；C，對命題的否定存在問題；
D，由正弦定理可以把邊的關系轉化為正弦的關系，再利用同角三角函數關系轉化為余弦的關系．

解答：解：A：f(x)=

1+cos2x

2

+

3

sin2x=

1

2

cos2x+

3

sin2x+

1

2

=

13

2

sin(2x+θ)+

1

2

（其中θ由tanθ=

3

6

確定），∴?X∈R，f（x）≤

13

2

+

1

2

＜3；對其否定為：?x∈R，f(x)=cos2x+

3

sin2x＞3，故該選項不正確；
B：命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題與原命題真假一致，而原命題為真，故逆否命題為真，故該選項不正確；
C：-p：?x∈R，

1

1+x

≤1，故該選項不正確；
D：△ABC中，由正弦定理有
a＞b?sinA＞sinB?sin²A＞sin²B?1-cos²A＞1-cos²B
∴cos²A＜cos²B，故該選項正確．
故選D．

點評：本題主要考查了命題、四種命題之間關系及真假的判斷、全稱命題、存在性命題，三角函數的有關知識，是一道綜合性較強的題目．