Question

設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的兩個根x₁，x₂滿足0＜x₁＜x₂＜

1

a

．
（1）當x∈（0，x₁）時，證明x＜f （x）＜x₁；
（2）設函數f（x）的圖象關于直線x=x₀對稱，證明x₀＜

x1

2

．

Answer 1

分析：（1）方程f（x）-x=0的兩個根x₁，x₂，所以構造函數，當x∈（0，x₁）時，利用函數的性質推出x＜f （x），然后作差
x₁-f（x），化簡分析出f（x）＜x₁，即可．
（2）．方程f（x）-x=0的兩個根x₁，x₂，函數f（x）的圖象，關于直線x=x₀對稱，利用放縮法推出x₀＜

x1

2

；

解答：證明：（1）令F（x）=f（x）-x．因為x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，所以
F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
當x∈（0，x₁）時，由于x₁＜x₂，得（x-x₁）（x-x₂）＞0，又a＞0，得
F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）＞0，
即x＜f（x）．
x₁-f（x）
=x₁-[x+F（x）]
=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）
=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]
因為0＜x＜x1＜x2＜

1

a

所以x₁-x＞0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0．
得x₁-f（x）＞0．
由此得f（x）＜x₁．
（2）依題意知x0=-

b

2a

因為x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，即x₁，x₂是方程ax²+（b-1）x+c=0的根．
∴x1+x2=-

b-1

a

，x0=-

b

2a

=

a(x1+x2)-1

2a

=

ax1+ax2-1

2a

因為ax₂＜1，所以x0＜

ax1

2a

=

x1

2

．

點評：本小題主要考查一元二次方程、二次函數和不等式的基礎知識，考查綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力．