Question

已知兩個集合A={

a

|

a

=(cosα，4-cos2α)，α∈R}，B={

b

|

b

=(cosβ，λ+sinβ)，β∈R}，若A∩B≠∅，則實數(shù)λ的取值范圍是（　　）

• A．[2，5]
• B．（-∞，5]
• C．[

  11

  4

  ，+∞)
• D．[

  11

  4

  ，5]

Answer 1

分析：A∩B≠∅，即是說方程組

cosα=cosβ              ① 4-cos2α=λ+sinβ    ②

有解，兩式消去α得出4-cos²β=λ+sinβ后，移向得出λ=sin²β-sinβ-3，根據(jù)sinβ的有界性求出λ的取值范圍．

解答：解：A∩B≠∅，即是說方程組

cosα=cosβ              ① 4-cos2α=λ+sinβ    ②

有解．
由①得4-cos²β=λ+sinβ，得出λ=3+sin²β-sinβ=（sinβ-

1

2

）²+

11

4

；
∵sinβ∈[-1，1]，
∴當sinβ=

1

2

時，λ的最小值為

11

4

，
當sinβ=-1時，λ的最大值為5．
故選：D．

點評：本題考查方程思想、函數(shù)思想、分離參數(shù)的思想方法．考查分析、解決、邏輯思維、計算能力．