Question

．（本題滿分15分）已知，函數，．
（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）若恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）

本試題主要是考查了導數的幾何意義的運用，以及運用導數解決不等式的恒成立e問題的運用。
（1）由于導數值表示的就是曲線在該點的斜率，那么利用點的坐標好斜率，得到切線方程的問題。
（2）要是不等式恒成立，則需要求解函數f(x)的最大值即可，因此需要對參數a進行分類討論研究其最值。
解：（Ⅰ）當時，，（2分）
，，（4分）
又，曲線在點處的切線方程為：
，即：．（6分）
（Ⅱ）由得
①當時
，，∴在上遞減，
∴，∴，此時不存在；（ 8分）
②當時
若時，由①得在上遞減，
∴，此時（9分）
若時
令得，又在遞增，故
∴，當時,∴在遞增，（12分）
∴
，，∴，（13分）
又， ∴
綜上知，實數的取值范圍（15分）