Question

已知四棱錐的底面是平行四邊形，,，面，
且．若為中點，為線段上的點，且．
（1）求證：平面；
（2）求PC與平面PAD所成角的正弦值．

 

Answer 1

(1)詳見解析;(2)．

試題分析：（1）連結BD交AC于O，取PF中點G，連結OF，BG，EG，利用EO，EG分別為BG，FC的中位線，得到它們對應平行，進而得到平面BEG與平面ACF平行，再由面面平行的性質得到線面平行．
（2）要求線面角，需要先找到線面角的代表角，即過C點做面PAD的垂線，因為PA垂直于底面，所以過C作線段AD的垂線與AD交于H，則CH垂直于面PAD，所以角CPH即為線面角的代表角，要求該角的正弦值，就需要求出PC與CH，可以利用△PAC和△ACH為直角三角形通過勾股定理求出，進而得到線面角的正弦值．
解：（1）證明1：連接BD交AC于點O，取中點，連接、、．

因為、分別是、的中點， 所以，      
又         ，所以             2分
因為、分別是、的中點，
所以，同理可得        4分
又 所以，平面平面．
又因為平面，故平面．      6分
證明2：作AH垂直BC交BC于H
建立如圖的空間直角坐標系O-XYZ，

令AD=PA=2,則AB=1
所以
為中點， 所以     2分
設面AFC的一個法向量，又
由,
所以 
令      4分
所以
所以  故平面．                              6分
（2）解1：因為，，所以．
過C作AD的垂線，垂足為H，則，，所以平面PAD．
故為PC與平面PAD所成的角．                  9分
設，則，，，
所以，即為所求．                 12分
解2：作AH垂直BC交BC于H，建立如圖的空間直角坐標系O-XYZ，

令AD=PA=2,則AB=1,所以          8分
因為,所以面PCD的一個法向量為       10分
令PC與平面PAD所成的角為，則
故PC與平面PAD所成角的正弦值為．    12分．