Question

設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，已知an+1=2Sn+2(n∈N+)．
（1）求數列{a_n}通項公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n個數，使這n+2個數組成一個公差為d_n的等差數列．
（ⅰ）求證：

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

＜

15

16

(n∈N+)
（ⅱ）在數列{d_n}中是否存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數列）成等比數列．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2S_n+2，得a_n=2S_n-1+2，n≥2，由此能求出an=2×3n-1．
（2）由（1）知an=2×3n-1，an+1=2×3n，由a_n+1=a_n+（n+1）d_n，得dn=

4×3n-1

n+1

．
（i）令Tn=

1

d1

+

1

d2

+…+

1

dn

，則Tn=

2

4×30

+

3

4×3

+

4

4×32

+…+

n+1

4×3n-1

，利用錯位相減法能夠證明T_n=

15

16

-

3(2n+5)

16×3n

＜

15

16

．
（ii）假設在數列{d_n}中存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數列）成等比數列，則dk2=dm•dp，由此能推導出在數列{d_n}中不存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數列）成等比數列．

解答：解：（1）由a_n+1=2S_n+2，得a_n=2S_n-1+2，n≥2，
兩式相減得a_n+1=3a_n，n≥2，
又a₂=2a₁+2，又∵{a_n}為等比數列，公比q=3，
所以a₂=2a₁+2=3a₁，則a₁=2，所以an=2×3n-1．
（2）由（1）知an=2×3n-1，an+1=2×3n，
由a_n+1=a_n+（n+1）d_n，得dn=

4×3n-1

n+1

，
（i）令Tn=

1

d1

+

1

d2

+…+

1

dn

，則Tn=

2

4×30

+

3

4×3

+

4

4×32

+…+

n+1

4×3n-1

1

3

Tn=

2

4×3

+

3

4×32

+

4

4×33

+…+

n

4×3n-1

+

n+1

4×3n

，
∴兩式相減，得T_n=

15

16

-

3(2n+5)

16×3n

＜

15

16

．
（ii）假設在數列{d_n}中存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數列）成等比數列，
則dk2=dm•dp，即(

4×3k-1

k+1

)2=

4×3m-1

m+1

•

4×3p-1

p+1

，

16×32k-2

(k+1)2

=

16×3m+p-2

(m+1)(p+1)

，
∵m，k，p成等差列，∴m+p=2k，
又由上式得k²=mp，解得m=k=p，矛盾，
∴在數列{d_n}中不存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數列）成等比數列．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，考查等比數列的判斷，解題時要認真審題，注意迭代法和錯位相減法的合理運用．