Question

以拋物線y²=4x的焦點為圓心、2為半徑的圓，與過點A（-1，3）的直線l相切，則直線l的方程是

 

．

Answer 1

分析：先根據拋物線的方程求出焦點坐標即為圓心坐標，然后分兩種情況：斜率不存在，顯然得到直線l；斜率存在時，設出斜率k，因為直線l與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑列出關于k的方程，求出k的值即可得到直線l的方程．

解答：解：若直線l的斜率不存在，根據題意顯然x=-1滿足條件，所以直線l的方程為x=-1；
若直線l的斜率存在，設斜率為k，則直線l的方程為y-3=k（x+1），
根據拋物線的解析式得到焦點法橫坐標為x=

P

2

=

2

2

=1，
則焦點坐標即為圓心坐標為（1，0），
因為直線l與圓相切，所以圓心到直線的距離d=

|2k+3|

k2+(-1)2

=r=2，解得k=-

5

12

，
則直線l的方程為y-3=-

5

12

（x+1），化簡得5x+12y-31=0．
所以直線l的方程是x=-1或5x+12y-31=0．
故答案為：x=-1或5x+12y-31=0

點評：本題是一道綜合題，要求學生靈活運用直線與圓相切時圓心到直線的距離等于半徑，會利用拋物線的簡單性質．學生做題時很可能把平行與y軸的切線遺漏，考慮問題不全面．