Question

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），f（x）=a^x•g（x）（a＞0，且a≠1），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，在有窮數(shù)列

f(n)

g(n)

（n=1，2，…10）中，任意取正整數(shù)k（1≤k≤10） 且滿足前k項和大于126，則k的最小值為（　　）

• A、6
• B、7
• C、8
• D、9

Answer 1

分析：由于f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），即F（x）=

f(x)

g(x)

，求導(dǎo)得：F′(x)=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g′(x)2

＞ 0所以函數(shù)F（x）在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，利用f（x）=a^x•g（x）（a＞0，且a≠1），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，求出F（x）的解析式，利用數(shù)列求和公式及方程的思想即可．

解答：解：因為f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
即F（x）=

f(x)

g(x)

，得：F^′（x）=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g′(x)2

＞0，所以函數(shù)F（x）在R上為由單調(diào)遞增函數(shù)，
又因為：f（x）=a^x•g（x）（a＞0，且a≠1），所以F（x）=

f(x)

g(x)

=a^x（a＞1），
利用

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

?F（1）+F（-1）=a+

1

a

=

5

2

?a=2，
所以F（x）=2^x，所以在有窮數(shù)列

f(n)

g(n)

（n=1，2，…10）中，
任意取正整數(shù)k（1≤k≤10） 且滿足前k項和大于126，
則k的最小值為：2+2²+2³+…+2^k＞126?

2(1-2k)

1-2

＞126?a_min=7．
故選B．

點評：此題考查了構(gòu)造新函數(shù)并利用條件及導(dǎo)函數(shù)判斷出該函數(shù)的單調(diào)性，還考查了等比數(shù)列的求和公式即不等式的準(zhǔn)確求解．