Question

如圖，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2

2

，M為BC的中點．
（1）證明：AM⊥PM；
（2）求三棱錐P-ADM的體積．

Answer 1

分析：（1）取CD的中點E，連接PE、EM、EA．利用面面垂直性質定理，結合△PCD為正三角形證出PE⊥平面ABCD，從而得出AM⊥PE．利用題中數據，在矩形ABCD中證出EM²+AM²=AE²，可得AM⊥EM，最后根據線面垂直判定定理證出AM⊥平面PEM，得到即可AM⊥PM；
（2）算出三角形ADM的面積，結合PE=

3

是三棱錐P-ADM的高線，利用錐體的體積公式即可算出三棱錐P-ADM的體積．

解答：解：（1）取CD的中點E，連接PE、EM、EA．
∵△PCD為正三角形，E為CD中點，∴PE⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴PE⊥平面ABCD
∵AM?平面ABCD，∴AM⊥PE
∵四邊形ABCD是矩形，∴△ADE、△ECM、△ABM均為直角三角形
由勾股定理求得：EM=

3

，AM=

6

，AE=3
∴EM²+AM²=AE²，可得AM⊥EM
又∵PE、EM是平面PEM內的相交直線，∴AM⊥平面PEM
∵PM?平面PEM，∴AM⊥PM
（2）∵正△PCD中，邊長為2，∴PE=

3

2

CD=

3

，
∵矩形ABCD中，AD=2

2

，CD=2
∴S_△ADM=

1

2

S_矩形ABCD=

1

2

×2

2

×2=2

2

∵PE⊥平面ABCD，得PE是三棱錐P-ADM的高
∴三棱錐P-ADM的體積V=

1

3

S_△ADM×PE=

1

3

×2

2

×

3

=

2 6

3

點評：本題在特殊四棱錐中求證線面垂直，并求錐體的體積．著重考查了面面垂直性質定理、線面垂直的判定與性質和錐體體積求法等知識，屬于中檔題．