Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)其中a>0,且a≠1，

（1）求函數(shù)的定義域；

（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解關(guān)于x的不等式；

（3）當(dāng)a＞1，且x∈[0，1)時(shí)，總有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011315354766775613/SYS201301131536230271168401_DA.files/image001.png">；（2）；（3）m≤0。

【解析】

試題分析：（1）由真數(shù)大于零，可得函數(shù)的定義域.

（2）由f(x)≥0得2log_a(x+1)≥log_a(1-x)，因?yàn)?<a<1,則對(duì)數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，

所以.

(3) a＞1且x∈[0，1）時(shí)恒成立.

然后研究真數(shù)的取值范圍，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求出的最小值，讓m小于等于其最小值即可.

（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011315354766775613/SYS201301131536230271168401_DA.files/image001.png">………3分

   （2）由f(x)≥0得2log_a(x+1)≥log_a(1-x)

    ∵0＜a＜1 ∴……………………………………（8分）

   （3）由題意知：a＞1且x∈[0，1）時(shí)恒成立.……（9分）

    設(shè)，令t=1-x，t∈（0,1],∴……（10分）

設(shè)  

,

    ∴u(t)的最小值為1……………………………（12分）

    又∵a＞1，的最小值為0…………………（13分）

    ∴m的取值范圍是m≤0…………………………………（14分）

考點(diǎn)： 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，解對(duì)數(shù)不等式，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式恒成立，對(duì)數(shù)函數(shù)的最值.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，就是求函數(shù)的定義域的依據(jù)之一；

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式轉(zhuǎn)化為真數(shù)的大小關(guān)系；

不等式恒成立問題，在參數(shù)與變量分離的情況下可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解.