Question

【題目】如圖，江的兩岸可近似的看成兩平行的直線，江岸的一側有A，B兩個蔬菜基地，江的另一側點C處有一個超市．已知A、B、C中任意兩點間的距離為20千米．超市欲在AB之間建一個運輸中轉站D，A，B兩處的蔬菜運抵D處后，再統一經過貨輪運抵C處．由于A，B兩處蔬菜的差異，這兩處的運輸費用也不同．如果從A處出發的運輸費為每千米2元，從B處出發的運輸費為每千米1元，貨輪的運輸費為每千米3元．

（1）設∠ADC=α，試將運輸總費用S（單位：元）表示為α的函數S（α），并寫出自變量的取值范圍；
（2）問中轉站D建在何處時，運輸總費用S最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題在△ACD中，∵∠CAD=∠ABC=∠ACB= ，∠CDA=α，∴∠ACD= ﹣α．

又AB=BC=CA=20，△ACD中，

由正弦定理知 = = ，得CD= ，AD= ，

∴S=2AD+BD+3CD=AD+3CD+20= + +20

=10 +20 （ ＜α＜ ）

（2）解：S′=10 ，令S′=0，得cosα=﹣

當cosα＜﹣ 時，S′＜0；當cosα＞﹣ 時，S′＞0，∴當cosα=﹣ 時S取得最小值．

此時，sinα= ，AD=10﹣ ，

∴中轉站距A處10﹣ 千米時，運輸成本S最小

【解析】（1）由題在△ACD中，由正弦定理求得CD、AD的值，即可求得運輸成本S的解析式．（2）利用導數求得cosα=﹣ 時，函數S取得極小值，由此可得中轉點D到A的距離以及S的最小值．