Question

已知函數 f（x）=

2x-1

2x+1

（1）判斷函數的奇偶性；  
（2）求該函數的值域；  
（3）解關于x的不等式f（2x-1）＜

1

3

．

Answer 1

考點：其他不等式的解法,函數的值域,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶的定義即可判斷函數的奇偶性；  
（2）根據方式函數的性質即可求該函數的值域；  
（3）結合函數奇偶性和單調性之間的關系即可解不等式f（2x-1）＜

1

3

．

解答： 解：（1）∵f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x），∴函數是奇函數；  
（2）f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵2^x+1＞1，∴0＜

2

2x+1

＜2，0＞-

2

2x+1

＞-2，
1＞1-

2

2x+1

＞-1，
即-1＜y＜1，
該函數的值域（-1，1）；  
（3）f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵y=2^x+1為增函數，∴y=

2

2x+1

為減函數，
y=-

2

2x+1

＞為增函數，
∴y=1-

2

2x+1

為增函數，
∵f（1）=

1

3

．
∴不等式f（2x-1）＜

1

3

等價為f（2x-1）＜f（1），
∵函數f（x）為增函數，
∴不等式等價為2x-1＜1．
即2x＜2，解得x＜1，
故不等式的解集為（-∞，1）．

點評：本題主要考查指數型函數的性質，根據函數奇偶性的定義以及指數函數的性質是解決本題的關鍵．