Question

（本小題滿分12分）
直三棱柱ABO-A₁B₁O₁中，∠AOB=90°，D為AB的中點(diǎn)，AO=BO=BB₁=2.
①求證：BO₁⊥AB₁；
②求證：BO₁∥平面OA₁D；
③求三棱錐B—A₁OD的體積。

Answer 1

①略
②略
③V=

證法1：①連結(jié)OB，    ∵OO⊥平面AOB,∴OO⊥AO
即AO⊥OO，又AO⊥OB 
∴AO⊥平面OOBB
∴O B為A B在平面OOBB內(nèi)的射影
又OB="B" B  ∴四邊形OOBB為正方形
∴B O⊥OB
∴B O⊥A B（三垂線定理）分
②連結(jié)A O交OA于E，再連結(jié)DE.
∵四邊形AAOO為矩形 ,∴E為A O的中點(diǎn).
又D為AB的中點(diǎn)，∴BO∥D……………6分
又DE平面OAD，BO平面OAD
∴BO∥平面OAD
③∵V= V，
又∵AA₁⊥平面ABO，∴V=·S·AA。
又S=·S=1，A₁A=2，
∴V=。
證法2：以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則:
O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A(2,0,2),
B(0,2,2), O(0,0,2), D(1,1,2).
①∵=(-2,2,-2),=(0,-2,-2)
∴·="(-2)" ·0+2·(-2)+(-2) ·(-2)=0
∴⊥    ∴B O⊥A B
②取OA的中點(diǎn)為E，則E點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,0,1)，∴="(0,-1,-1),       " 又=(0,-2,-2)
∴=2  又BO、DE不共線，    ∴BO∥DE
又DE平面OAD，BO平面OAD    ∴BO∥平面OAD③與證法1相同