Question

設橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，且離心率，且過橢圓右焦點F₂的直線l與橢圓C交于M、N兩點。
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由。
（3）若AB是橢圓C經過原點O的弦，MN∥AB，求證：為定值。

Answer 1

解：拋物線的焦點為
∵橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合
∴橢圓的一個頂點為，
即
∵，
∴a=2，
∴橢圓的標準方程為；
（2）解：由題可知，橢圓的右焦點為（1，0），直線l與橢圓必相交
①當直線斜率不存在時，M（1，），N（1，-），
∴，不合題意；
②設存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
，，

=
所以，
故直線l的方程為或；
（3）證明：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
由（2）可得：|MN|=
=
由消去y，
并整理得：，
|AB|=，
∴為定值 。