Question

若函數f(x)＝ax³－bx＋4，當x＝2時，函數f(x)有極值－.
(1)求函數的解析式．
(2)若方程f(x)＝k有3個不同的根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

(1) f(x)＝x³－4x＋4.(2)－<k<.

試題分析：f′(x)＝3ax²－b.
(1)由題意得解得
故所求函數的解析式為f(x)＝x³－4x＋4.
(2)由(1)可得f′(x)＝x²－4＝(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，－2)	－2	(－2，2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?		?	－

因此，當x＝－2時，f(x)有極大值，
當x＝2時，f(x)有極小值－，
所以函數f(x)＝x³－4x＋4的圖象大致如圖所示．

若f(x)＝k有3個不同的根，則直線y＝k與函數f(x)的圖象有3個交點，所以－<k<.
點評：中檔題，利用導數研究函數的單調性、極值、最值，是導數的應用中的基本問題。本題（II）應用導數，通過研究函數的單調性、極值等，對函數的圖象有了充分的了解，明確了函數零點情況。