Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如下圖）.

（1）當x=2時，求證：BD⊥EG；

（2）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值.

（3）當f(x)取得最大值時，求二面角D—BF—C的大小.

Answer 1

解析：在翻折的過程中完成平面圖形向空間結構的轉化，動態地考查考生空間想象能力，在題型設計方面改變傳統立體幾何問題的設問方式，把立體幾何與函數知識整合在一起，使試題出現新的亮點.

∴平面AEFD⊥平面EBCF，AE⊥EF，

∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE.

    又BE⊥EF，故可建立空間坐標系Exyz.

    則A（0，0，2）、B（2，0，0）、G（2，2，0）、D（0，2，2）、E（0，0，0）,

（1）=（-2，2，2），=（2，2，0），

·=（-2，2，2）·（2，2，0）=0，

∴BD⊥EG.

（2）∴AD∥面BFC，f(x)=V_A-BFC=S_△BFC·AE=××4×（4-x）×x=-（x-2）²+，即x=2時，f(x)有最大值為.

（3）設平面DBF的法向量為n₁=(x,y,z),

∴AE=2，B（2，0，0），D（0，2，2），F（0，3，0），

∴=（-2，3，0），=（-2，2，2），

    則

    即

    取x=3,則y=2,z=1,

∴n₁=（3，2，1）.

    面BCF的一個法向量為n₂=（0，0，1），

    則cos〈n₁,n₂〉=，

    二面角D—BF—C的平面角為π=-arccos.