Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²上異于坐標原點O的兩不同動點A、B滿足AO⊥BO（如圖所示）．
（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；
（Ⅱ）△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出三角形的重心，A，B的坐標，利用三角形重心的性質表示出x和y，利用OA⊥OB推斷出k_OA•k_OB=-1求得x₁x₂+y₁y₂=-1把A，B代入拋物線求得x₁x₂的值，進而求得y和x的關系式即G的軌跡方程．
（II）利用兩點間的距離公式分別表示出|OA|和|OB|代入三角形面積公式，利用基本不等式和x₁x₂的值求得三角形面積的最小值．

解答：解：（I）設△AOB的重心為G（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x= x1+x2 3 y= y1+y2 3

（1）
∵OA⊥OB∴k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，（2）
又點A，B在拋物線上，有y₁=x₁²，y₂=x₂²，代入（2）化簡得x₁x₂=-1
∴Y=

y1+y2

3

=

1

3

（x₁²+x₂²）=

1

3

[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]=

1

3

×（3x）²+

2

3

=3x²+

2

3

．
所以重心為G的軌跡方程為y═3x²+

2

3

．
（II）S_△AOB=

1

2

|OA||OB|=

1

2

( x 2 1 + y 2 1 )( x 2 2 + y 2 2 )

=

1

2

x 2 1 x 2 2 + x 2 1 y 2 2 + x 2 2 y 2 1 + y 2 1 y 2 2

由（I）得S_△AOB=

1

2

x 2 1 + x 2 2 +2

≥

1

2

2| x   1 x   2 | +2

=

1

2

×2=1
當且僅當x₁²=x₂²即|x₁|=|x₂|=1時，等號成立．
所以△AOB的面積存在最小值，存在時求得最小值1．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生分析問題和解決問題的能力．