Question

已知向量

a

=（-1，2），

b

=（1，1），t∈R．
（I）求＜

a

，

b

＞；  （II）求|

a

+t

b

|的最小值及相應的t值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的夾角公式cos＜

a

•

b

＞= 

a •  b

| a |•|  b |

=

x1x2+y1y2

x 12+y 12 x 22+y 22

計算夾角的余弦值，再由夾角的范圍確定夾角的值
（II）利用向量數量積的性質|

a

| 2=

a

 2，將|

a

+t

b

|轉化為關于t的函數，利用配方法求二次函數的最值即可得所求函數的最小值及相應的t值

解答：解：（I）∵

a

=（-1，2），

b

=（1，1），
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

=

-1+2

1+4• 1+1

=

1

10

=

10

10

∵＜

a

，

b

＞∈（0，π）∴＜

a

，

b

＞=arccos 

10

10

（II）∵|

a

+t

b

|=

( a +t b ) 2

=

a 2+2t a b + t2 b 2

=

2(t+ 1 2 )2+ 9 2

，
∴當t=-

1

2

時，|

a

+t

b

|取最小值 

9 2

=

3 2

2

．

點評：本題考察了向量的夾角公式，向量的數量積運算性質，解題時要認真體會向量數量積運算在解決夾角和長度問題中的重要應用