Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，焦距為2c；若以F₂為圓心，b-c為半徑作圓F₂，過橢圓上任一點P（x，y）作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于（a-c）．
（Ⅰ）證明：|PF₂|的最小值為a-c；
（Ⅱ）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（Ⅲ）若橢圓的短半軸長為1，圓F₂與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為2的直線l與橢圓交于A、B兩點，若OA⊥OB，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓上任一點Q的坐標為（x，y），根據Q點到右準線的距離和橢圓的第二定義，求得x的范圍，進而求得橢圓上的點到點F₂的最短距離；
（Ⅱ）可先表示出|PT|，進而可知當且僅當|PF₂|取得最小值時，|PT|取得最小值，從而可求橢圓的離心率e的取值范圍；
（Ⅲ）直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理，及OA⊥OB，即可求出橢圓的方程．
解答：（Ⅰ）證明：設橢圓上任一點Q的坐標為（x，y），
Q點到右準線的距離為d=-x，
則由橢圓的第二定義知：=，
∴|QF₂|=a-x，又-a≤x≤a，
∴當x=a時，
∴|QF₂|_min=a-c．
（Ⅱ）解：依題意設切線長|PT|=
∴當且僅當|PF₂|取得最小值時|PT|取得最小值，
∴≥（a-c），
∴0＜≤，從而解得≤e＜；
（Ⅲ）依題意Q點的坐標為（1，0），則直線的方程為y=2（x-1），
與橢圓方程聯立方程組，消去y得（4a²+1）^_x2-8a²x+3a²=0
設A（x₁，y₁）（x₂，y₂），則有x₁+x₂=，x₁x₂=，
代入直線方程得y₁y₂=，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴+=0
∴a=2
∴橢圓方程為．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．