Question

【題目】已知等腰梯形中（如圖1），， ， ， 為邊上一點，且，將沿折起，使平面平面（如圖2）.

（1）證明：平面平面；

（2）試在棱上確定一點，使截面把幾何體分成的兩部分.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：I）依題意知：CD⊥AD，即可根據面面垂直的性質定理可得：所以DC⊥平面PAD，再根據面面垂直的判定定理可得：平面PAD⊥平面PCD．

（II）根據（I）同理可得：PA⊥平面ABCD，可得平面PAB⊥平面ABCD．在AB上取一點N，MN⊥平面ABCD，設MN=h，再分別計算出VPDCMA與VMABC的數值，并且結合題意可得，所以M為PB的中點．

試題解析：

（1）因為PDCB為等腰梯形，PB=3，DC=1，PA=1，則PA⊥AD，CD⊥AD．

又因為面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，CD面ABCD，故CD⊥面PAD．

又因為CD面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD．

（2）所求的點M即為線段PB的中點．

證明如下：

設三棱錐M-ACB的高為h1，四棱錐P-ABCD的高為h2，

當M為線段PB的中點時，

所以， 所以截面AMC把幾何體分成的兩部分VP-DCMA∶VM-ACB=2∶1．