Question

如圖，已知橢圓C的方程為＋y²＝1，A、B是四條直線x＝±2，y＝±1所圍成的矩形的兩個頂點．

(1)設P是橢圓C上任意一點，若＝m＋n，求證：動點Q(m，n)在定圓上運動，并求出定圓的方程；
(2)若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，并說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）△OMN的面積為定值1

(1)證明：易知A(2，1)，B(－2，1)．設P(x₀，y₀)，則＋＝1.由＝m＋n，得所以＋(m＋n)²＝1，即m²＋n²＝，故點Q(m，n)在定圓x²＋y²＝上．
(2)解：(解法1)設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，則，平方得＝16＝(4－)(4－)，即＋＝4.因為直線MN的方程為(y₁－y₂)x－(x₁－x₂)y＋x₁y₂－x₂y₁＝0，所以O到直線MN的距離為d＝，所以△OMN的面積S＝MN·d＝|x₁y₂－x₂y₁|＝＝＝＝1，故△OMN的面積為定值1.
(解法2)設OM的方程為y＝kx(k>0)，則ON的方程為y＝－x(k>0)．聯立方程組解得M.同理可得N
因為點N到直線OM的距離為d＝，OM＝＝2，所以△OMN的面積S＝d·OM＝＝1，故△OMN的面積為定值．