Question

已知二次曲線(xiàn)C_k的方程：

x2

9-k

+

y2

4-k

=1．
（1）分別求出方程表示橢圓和雙曲線(xiàn)的條件；
（2）若雙曲線(xiàn)C_k與直線(xiàn)y=x+1有公共點(diǎn)且實(shí)軸最長(zhǎng)，求雙曲線(xiàn)方程；
（3）m、n為正整數(shù)，且m＜n，是否存在兩條曲線(xiàn)C_m、C_n，其交點(diǎn)P與點(diǎn)F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)滿(mǎn)足PF₁⊥PF₂，若存在，求m、n的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)且僅當(dāng)分母都為正，且不相等時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)且僅當(dāng)分母異號(hào)時(shí)，方程表示雙曲線(xiàn)．
（2）將直線(xiàn)與曲線(xiàn)聯(lián)立

y=x+1 x2 9-k + y2 4-k =1

化簡(jiǎn)得：（13-2k）x²+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0，利用雙曲線(xiàn)C_k與直線(xiàn)y=x+1有公共點(diǎn)，可確定k的范圍，從而可求雙曲線(xiàn)的實(shí)軸，進(jìn)而可得雙曲線(xiàn)方程；
（3）由（1）知C₁，C₂，C₃是橢圓，C₅，C₆，C₇，C₈是雙曲線(xiàn)，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)，任意兩橢圓之間無(wú)公共點(diǎn)，任意兩雙曲線(xiàn)之間無(wú)公共點(diǎn)，從而可求．

解答：解：（1）當(dāng)且僅當(dāng)

9-k＞0 4-k＞0 9-k≠4-k

⇒k＜4時(shí)，方程表示橢圓；----（2分）
當(dāng)且僅當(dāng)（9-k）（4-k）＜0⇒4＜k＜9時(shí)，方程表示雙曲線(xiàn)．---（4分）
（2）

y=x+1 x2 9-k + y2 4-k =1

化簡(jiǎn)得：（13-2k）x²+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0----（6分）
△≥0⇒k≥6或k≤4所以6≤k＜9-------（8分）
雙曲線(xiàn)的實(shí)軸為2

9-k

，當(dāng)k=6時(shí)，雙曲線(xiàn)實(shí)軸最長(zhǎng)為2

3

此時(shí)雙曲線(xiàn)方程為

x2

3

-

y2

2

=1-------（10分）
（3）由（1）知C₁，C₂，C₃是橢圓，C₅，C₆，C₇，C₈是雙曲線(xiàn)，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)
任意兩橢圓之間無(wú)公共點(diǎn)，任意兩雙曲線(xiàn)之間無(wú)公共點(diǎn)------（12分）
設(shè)|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，m∈{1，2，3}，n∈{5，6，7，8}
由橢圓與雙曲線(xiàn)定義及

PF1

•

PF2

=0；

d1+d2=2 9-m |d1-d2|=2 9-n d12+d22=20

所以m+n=8-----（16分）
所以這樣的C_m，C_n存在，且

m=1 n=7

或

m=2 n=6

或

m=3 n=5

-----（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題以二次曲線(xiàn)為載體，考查二次曲線(xiàn)的性質(zhì)，考查直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系，有一定難度．