Question

四棱錐P-ABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M為PB的中點，Q為CD的中點．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求AQ與平面CDM所成的角．

Answer 1

分析：（1）連結PQ、AQ．菱形ABCD中證出AQ⊥CD，結合正三角形△PCD中PQ⊥CD，可得CD⊥平面PAQ，而PA?平面PAQ，即可證出PA⊥CD．
（2）分別以QA、QC、QP所在直線為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標系Q-xyz．算得

PA

、

CM

的坐標，從而得到

PA

?

CM

=0，可得PA⊥CM．結合（1）的結論PA⊥CD，證出PA⊥平面CDM，得

PA

就是平面CDM的法向量．因此根據空間向量的夾角公式算出＜

QA

，

PA

＞的余弦值，即可得到AQ與平面CDM所成的正弦值，從而求出AQ與平面CDM所成的角的大小．

解答：解：（1）連結PQ、AQ．
∵△PCD為正三角形，∴PQ⊥CD．
∵底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，
∴AQ⊥CD．
∵AQ、PQ是平面PAQ內的相交直線，
∴CD⊥平面PAQ．…（4分）
∵PA?平面PAQ，∴PA⊥CD．
（2）由（1）可知PQ⊥CD，AQ⊥CD．
又由側面PDC⊥底面ABCD，得PQ⊥AQ．
因此，分別以QA、QC、QP所在直線為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標系Q-xyz．…（6分）
易知P（0，0，

3

）、A（

3

，0，0）、B（

3

，2，0）、C（0，1，0）、D（0，-1，0）．…（7分）
由M（

3

2

，1，

3

2

），得

CM

=（

3

2

，0，

3

2

），
得

PA

?

CM

=

3

4

+0-

3

4

=0，可得PA⊥CM．…（10分）
∵CM、CD是平面CDM內的相交直線，
∴PA⊥平面CDM，
從而

PA

就是平面CDM的法向量．…（12分）
設AQ與平面所成的角為α，
則sinα=|cos＜

QA

，

PA

＞|=|

3

3 × 6

|=

2

2

，可得α=45°
∴AQ與平面CDM所成的角為45°．…（14分）

點評：本題在特殊四棱錐中求證異面垂直，并求直線與平面所成角的大小，著重考查了線面垂直的判定與性質、利用空間向量研究直線與平面所成角大小等知識，屬于中檔題．