Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，△PCD為正三角形，∠BAD=30°，AD=4，AB=2，平面PCD⊥平面ABCD，E為PC中點．

（1）證明：BE⊥PC；

（2）求多面體PABED的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3

【解析】

（1）先證明PC⊥面BDE，再證明BE⊥PC；

（2）先求的體積，再求的體積，從而可得多面體PABED的體積．

（1）∵BD2=AB2+AD22ABADcos∠BAD=4，∴BD=2，

∴∠ABD=90°，∴BD⊥CD，∵面PCD⊥面ABCD，面PCD∩面ABCD=CD，

∴BD⊥面PCD，∴BD⊥PC，∵△PCD是正三角形，E為PC的中點，∴DE⊥PC，

∴PC⊥面BDE，∴BE⊥PC．

（2）作PF⊥CD，EG⊥CD，F，G為垂足，∵面PCD⊥面ABCD，

∴PF⊥面ABCD，EG⊥面ABCD，∵△PCD是正三角形，CD=2，

∴PF=3，EG=，∴VP-ABCD==4，

=，

∴多面體PABED的體積V=VP-ABCD-VE-BCD=4=3．