Question

已知命題P：函數f(x)=

x

x2+1

在區間（a，2a+1）上是單調遞增函數；命題Q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對任意實數x恒成立．若P∨Q是真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出P，Q為真時，參數的取值范圍，再將P∨Q是真命題，轉化為P真Q假或P假Q真或P真Q真，即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：若P是真，求導函數f′（x）=

1-x2

(x2+1)2

，令f′（x）＞0可得-1＜x＜1
∵函數f(x)=

x

x2+1

在區間（a，2a+1）上是單調遞增函數
∴

a≥-1 2a+1≤1 a＜2a+1

，∴-1＜a≤0
若Q是真，可得a=2或

a-2＜0 △＜0

得：-2＜a≤2，
∵P∨Q是真命題，∴P真Q假或P假Q真或P真Q真
若P真Q假，則

-1＜a≤0 a≤-2或a＞2

，∴a∈∅；
若P假Q真，則

a≤-1或a＞0 -2＜a≤2

，∴-2＜a≤-1或0＜a≤2
若P真Q真，則

-1＜a≤0 -2＜a≤2

，∴-1＜a≤0
∴由P∨Q是真命題可得a∈（-2，2]．

點評：解決本題的靈魂在于“轉化”，將P∨Q是真命題，轉化為P真Q假或P假Q真或P真Q真．