Question

【題目】已知點為橢圓C：（，）上一點，和分別為橢圓C的左右焦點，點D為橢圓C的上頂點，且.

（1）橢圓C的方程；

（2）若點A、B、P為橢圓C上三個不同的動點，且滿足，直線與直線交于點Q，試判斷動點Q的軌跡與直線的位置關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）相切，理由見解析.

【解析】

（1）由已知化簡可得，代入橢圓方程，計算即可求得結果；

（2）設,，由化簡可得，利用軌跡法可求得Q的軌跡方程，設直線與直線交于點M，則點M為線段的中點，根據可求得，利用點差法可求得直線直線的方程，和Q的軌跡方程聯立，點坐標代入化簡利用判別式可得出結論相切.

解：（1）由已知可得：，則

所以 ，，

又由于已知點在橢圓C上，則，解得，，

橢圓C的方程.

（2）設,

∵，直線與直線交于點Q，

∴.

則.

由，得，

∴動點Q的軌跡方程為.

設直線與直線交于點M，則點M為線段的中點，且，

當時，∵，，∴，

∴直線的方程為，整理得.

將代入動點Q的軌跡方程得，.

將代入（※），整理得.

∵，∴直線與動點Q的軌跡相切.

當時，直線的方程為，∴直線與動點Q的軌跡相切.

綜上可知，直線與動點Q的軌跡相切.