Question

【題目】某企業質量檢驗員為了檢測生產線上零件的質量情況，從生產線上隨機抽取了個零件進行測量，根據所測量的零件尺寸（單位：mm），得到如下的頻率分布直方圖：

（1）根據頻率分布直方圖，求這個零件尺寸的中位數（結果精確到）；

（2）若從這個零件中尺寸位于之外的零件中隨機抽取個，設表示尺寸在上的零件個數，求的分布列及數學期望；

（3）已知尺寸在上的零件為一等品，否則為二等品，將這個零件尺寸的樣本頻率視為概率. 現對生產線上生產的零件進行成箱包裝出售，每箱個. 企業在交付買家之前需要決策是否對每箱的所有零件進行檢驗，已知每個零件的檢驗費用為元. 若檢驗，則將檢驗出的二等品更換為一等品；若不檢驗，如果有二等品進入買家手中，企業要向買家對每個二等品支付元的賠償費用. 現對一箱零件隨機抽檢了個，結果有個二等品，以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值作為決策依據，該企業是否對該箱余下的所有零件進行檢驗？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）分布列見詳解，期望為；（3）余下所有零件不用檢驗，理由見詳解.

【解析】

（1）計算的頻率，并且與進行比較，判斷中位數落在的區間，然后根據頻率的計算方法，可得結果.

（2）計算位于之外的零件中隨機抽取個的總數，寫出所有可能取值，并計算相對應的概率，列出分布列，計算期望，可得結果.

（3）計算整箱的費用，根據余下零件個數服從二項分布，可得余下零件個數的期望值，然后計算整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值，進行比較，可得結果.

（1）尺寸在的頻率：

尺寸在的頻率：

且

所以可知尺寸的中位數落在

假設尺寸中位數為

所以

所以這個零件尺寸的中位數

（2）尺寸在的個數為

尺寸在的個數為

的所有可能取值為1，2，3，4

則，

，

所以的分布列為

（3）二等品的概率為

如果對余下的零件進行檢驗則整箱的檢驗費用為

（元）

余下二等品的個數期望值為

如果不對余下的零件進行檢驗，

整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值為

（元）

所以，所以可以不對余下的零件進行檢驗.