Question

如果過點（0，1）斜率為k的直線l與圓x²+y²+kx+my-4=0交于M、N兩點，且M、N關于直線x+y=0對稱，那么直線l的斜率k=

 

；不等式組

kx-y+1≥0 kx-my≤0 y≥0

表示的平面區域的面積是

 

．

Answer 1

分析：根據直線l與直線x+y=0垂直，斜率之積等于-1，求出直線l的斜率，化簡不等式組，結合圖形求不等式組表示的平面區域的面積．

解答：解：∵斜率為k的直線l與圓x²+y²+kx+my-4=0交于M、N兩點，
且M、N關于直線x+y=0對稱，
∴直線l與直線x+y=0垂直，斜率之積等于-1，
∴直線l的斜率k=1．
圓方程即(x+

k

2

)2+(y+

m

2

)2=

17+m2+k2

4

，
即 (x+

1

2

)2+(y+

m

2

)2=

17+m2

4

．
由題意可得，圓心在直線x+y=0上，∴-

1

2

-

m

2

=0，∴m=-1．
不等式組即 

x-y+1≥0 x+y≤0 y≥0

，表示的區域如圖所示△AOB，
易求A（

1

2

，

1

2

），B（1，0），
∴三角形AOB的面積等于

1

2

×1×

1

2

=

1

4

，
故答案為  1，

1

4

．

點評：本題考查兩條直線垂直的條件，以及求二元一次不等式組表示平面區域的面積的求法，屬于中檔題．