Question

已知數列的前項和和通項滿足（，是大于0的常數，且），數列是公比不為的等比數列，.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，是否存在實數，使數列是等比數列？若存在，求出所有可能的實數的值，若不存在說明理由；
（3）數列是否能為等比數列？若能，請給出一個符合的條件的和的組合，若不能，請說明理由.

Answer 1

（1）,（2）λ= 2或λ= 3,（3）不可能為等比數列.

試題分析：（1）求一般數列通項，常利用和項與通項關系，即當時, ,整理得，又由，得，
結合q>0知，數列是首項為q公比為的等比數列， ∴ （2）存在性問題，一般從假設存在出發，探求等量關系，將是否存在轉化為是否有解. 結合（1）知，當q=2時，,所以,假設存在實數，使數列是等比數列，則對任意n≥2有(c_n＋1＋λc_n)²＝(c_n＋2＋λc_n＋1)(c_n＋λc_{n 1})，將c_n＝2ⁿ＋3ⁿ代入上式，整理得(2＋λ)(3＋λ)·2ⁿ·3ⁿ＝0，解得λ= 2或λ= 3.（3）首先利用特殊值探討，得出結論是數列不可能為等比數列.說明也可根據特例. 由題意得c₁c₃ c₂²＝b₁q(p²＋q² 2pq)，由于p≠q時，p²＋q²＞2pq，又q及等比數列的首項b₁均不為零，所以 c₁c₃ c₂²≠0，即 c₂²≠c₁·c₃. 故｛c_n｝不是等比數列.
解：（1）當時,
,整理得                    2分
又由，得                3分
結合q>0知，數列是首項為q公比為的等比數列， ∴      5分
（2）結合（1）知，當q=2時，,所以                     6分
假設存在實數，使數列是等比數列，則對任意n≥2有
(c_n＋1＋λc_n)²＝(c_n＋2＋λc_n＋1)(c_n＋λc_{n 1})，將c_n＝2ⁿ＋3ⁿ代入上式，得：
[2^n＋1＋3^n＋1＋λ(2ⁿ＋3ⁿ)]²＝[2^n＋2＋3^n＋2＋λ(2^n＋1＋3^n＋1)]·[2ⁿ＋3ⁿ＋λ(2^{n 1}＋3^{n 1})]，
即    [(2＋λ)2ⁿ＋(3＋λ)3ⁿ]²＝[(2＋λ)2^n＋1＋(3＋λ)3^n＋1][(2＋λ)2^{n 1}＋(3＋λ)3^{n 1}］，
整理得(2＋λ)(3＋λ)·2ⁿ·3ⁿ＝0，解得λ= 2或λ= 3.            10分
故存在實數實數＝ 2或 3，使數列是等比數列.           11分
（3）數列不可能為等比數列.                   12分
理由如下：
設等比數列｛bn｝的公比為p，則由題設知p≠q，則c_n=qⁿ＋b₁p^{n 1}
為要證｛c_n｝不是等比數列只需證c₂²≠c₁·c₃.
事實上，
c₂²＝（q²＋b₁p）²＝q⁴＋2q²b₁p＋b₁²p²，           ①
c₁·c₃＝(q＋b₁)(q³＋b₁p²)＝q⁴＋b₁²p²＋b₁q(p²＋q²），     ②
②-①得
c₁c₃ c₂²＝b₁q(p²＋q² 2pq)
由于p≠q時，p²＋q²＞2pq，又q及等比數列的首項b₁均不為零，
所以 c₁c₃ c₂²≠0，即 c₂²≠c₁·c₃. 故｛c_n｝不是等比數列.             16分