Question

【題目】在三棱錐中， 底面為的中點， 為的中點，點在上，且.

（1）求證： 平面；

（2）求證： 平面；

（3）若，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）由PB⊥底面ABC，可證AC⊥PB，由∠BCA=90°，可得AC⊥CB．又PB∩CB=B，即可證明AC⊥平面PBC．
（2）取AF的中點G，連結CG，GM．可得EF∥CG．又CG平面BEF，有EF平面BEF，有CG∥平面BEF，同理證明GM∥平面BEF，有平面CMG∥平面BEF，即可證明CM∥平面BEF．
（3）取BC中點D，連結ED，可得ED∥PB，由PB⊥底面ABC，故ED⊥底面ABC，由PB=BC=CA=2，即可求得三棱錐E-ABC的體積．

試題解析：

（1）因為底面，且底面，

所以.

由，可得.

又，

所以平面.

（2）取的中點，連接.

因為為的中點，所以為中點.

在中， 分別為中點.

所以，

又平面平面，所以平面.

同理可證平面.

又，

所以平面平面.

又平面，

所以平面.

（3）取中點，連接.

在中， 分別為中點，所以，

因為底面，所以底面.

由，可得.