Question

某城市有甲、乙、丙、丁4個旅游景點，一位客人游覽這4個景點的概率都是0.6，且客人是否游覽哪個景點互不影響．設ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值．
（Ⅰ）求ξ的分布列及數學期望；
（Ⅱ） 記“函數f（x）=x²-3ξx+1在區間[4，+∞）上單調遞增”為事件A，求事件A的概率．

Answer 1

分析：（1）分別設“客人游覽甲景點”、“客人游覽乙景點”、“客人游覽丙景點”、“客人游覽丁景點”為事件A₁，A₂，A₃，A₄，由已知A₁，A₂，A₃，A₄相互獨立，且P（A₁）=P（A₂）=P（A₃）=P（A₄）=0.6．客人游覽的景點數的可能取值為0，1，2，3，4；相應的，客人沒有游覽的景點數的可能取值為4，3，2，1，0．所以ξ的可能取值為0，2，4．由此能求出ξ的分布列和期望．
（2）因為f(x)=(x-

3

2

ξ)2+1-

9

4

ξ2，所以函數f（x）=x²-3ξx+1在區間[

3

2

ξ，+∞)上單調遞增．要使f（x）在[4，+∞）上單調遞增，當且僅當ξ≤

8

3

．由此能求出事件A的概率．

解答：解：（1）分別設“客人游覽甲景點”、“客人游覽乙景點”、“客人游覽丙景點”、
“客人游覽丁景點”為事件A₁，A₂，A₃，A₄，
由已知A₁，A₂，A₃，A₄相互獨立，
且P（A₁）=P（A₂）=P（A₃）=P（A₄）=0.6．
客人游覽的景點數的可能取值為0，1，2，3，4；
相應的，客人沒有游覽的景點數的可能取值為4，3，2，1，0．
所以ξ的可能取值為0，2，4．

P(ξ=0)=C42(0.6)2(1-0.6)2=0.3456 .

，

P(ξ=2)=C41(0.6)1(1-0.6)3+C43(0.6)3(1-0.6)1=0.4992 .

，

P(ξ=4)=(0.6)4+(1-0.6)4=0.1552 .

所以ξ的分布列為

ξ	0	2	4
P	0.3456	0.4992	0.1552

E=0×0.3452+2×0.4992+4×0.1552=1.6192．…（5分）
（2）因為f(x)=(x-

3

2

ξ)2+1-

9

4

ξ2，
所以函數f（x）=x²-3ξx+1在區間[

3

2

ξ，+∞)上單調遞增．
要使f（x）在[4，+∞）上單調遞增，
當且僅當

3

2

ξ≤4，
即ξ≤

8

3

．
從而P(A)=P(ξ≤

8

3

)=P(ξ=0)+P(ξ=2)=0.8448．…（10分）

點評：本題考查離散型隨機變量的數學期望和方差，綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，仔細解答．注意理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，體現了化歸的重要思想．