Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C所對的邊，周長為

2

+1，已知：m=（sinA+sinB，sinC），n=(1，-

2

)，且m⊥n，
（1）求邊c的長；  （2）求角C的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量垂直時數量積為0列出關系式，利用正弦定理化簡后，再根據周長的值，求出c的值即可；
（2）利用余弦定理表示出cosC，分子配方后把a+b及c的值代入化簡，再利用基本不等式得到cosC大于等于0，由C為三角形的內角，求出C的范圍，從而得到C的最大值．

解答：解：（1）由

m

⊥

n

得：sinA+sinB-

2

sinC=0，
由正弦定理可得：a+b=

2

c，又a+b+c=

2

+1，
解得c=1；
（2）由（1）a+b=

2

，
則cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

(a+b)2-c2

2ab

-1=

1

2ab

-1≥

2

(a+b)2

-1=0，
又C為三角形的內角，∴0＜C≤

π

2

，
則角C的最大值為

π

2

．

點評：此題考查了平面向量的數量積運算，正弦、余弦定理，基本不等式，以及余弦函數的圖象與性質，屬于解三角形的題型，其中正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關系，給已知與未知提供了聯系，故熟練掌握定理是解本題的關鍵．