Question

選做題：（請考生在以下三個小題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
A．（選修4-4坐標系與參數方程）已知點A是曲線ρ=2sinθ上任意一點，則點A到直線ρsin(θ+

π

3

)=4的距離的最小值是

5

2

．
B．（選修4-5不等式選講）不等式|2x-1|+|2x-3|≥4的解集是

（-∞，0]∪[2，+∞）

．
C．（選修4-1幾何證明選講）如圖所示，AC和AB分別是圓O的切線，且OC=3，AB=4，延長AO到D點，則△ABD的面積是

48

5

．

Answer 1

分析：A 曲線方程化為直角坐標方程為 x²+（y-1）²=1，表示以（0，1）為圓心，以1為半徑的圓，把直線方程化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離 d，d-1即為所求．
B 把不等式轉化為與之等價的三個不等式組，解出每個不等式組的解集，取并集即為所求．
C 令∠AOB=θ，則∠BOD=π-θ． Rt△AOB中，由勾股定理可得 AO，由正弦定理求得sinθ的值，根據△ABD的面積 S_△ABD=S_△ABO+S_△BOD，運算求得結果．

解答：解：A 曲線ρ=2sinθ即 ρ²=2ρsinθ，化為直角坐標方程為 x²+（y-1）²=1，表示以（0，1）為圓心，以1為半徑的圓．
直線ρsin(θ+

π

3

)=4 即

1

2

ρsinθ+

3

2

ρcosθ=4，化為直角坐標方程為

3

x +y -8=0．
由于圓心到直線的距離等于 d=

|0+1-8|

3+1

=

7

2

，
故點A到直線ρsin(θ+

π

3

)=4的距離的最小值為

7

2

-1=

5

2

．
故答案為

5

2

．
B 由不等式|2x-1|+|2x-3|≥4 可得

x ＜  1 2 4-4x≥4

 ①，或 

1 2 ≤x≤  3 2 2≥4

②，或 

x＞ 3 2 4x-4≥4

 ③．
解①得 x≤0，解②得 x∈∅，解 ③得 x≥2．
故原不等式的解集為{x|x≤0，或 x≥2}，
故答案為 （-∞，0]∪[2，+∞）．
C 令∠AOB=θ，則∠BOD=π-θ．   Rt△AOB中，由勾股定理可得 AO=

AB2+OB2

=

16+9

=5．
由正弦定理可得

AB

sinθ

=

AO

sin π 2

，即

4

sinθ

=5，∴sinθ=

4

5

．
故△ABD的面積 S_△ABD=S_△ABO+S_△BOD=

1

2

AB×OB+

1

2

× OB × OD × sin(π-θ)=

1

2

×4×3+

1

2

×3×3×

4

5

=

48

5

．
故答案為

48

5

．

點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，絕對值不等式的解法，圓的切線性質定理的應用，屬于中檔題．