Question

（本小題滿分12分）
已知甲、乙兩個工廠在今年的1月份的利潤都是6萬，且乙廠在2月份的利潤是8萬元．若甲、乙兩個工廠的利潤(萬元)與月份x之間的函數關系式分別符合下列函數模型：f(x)＝a₁x²—4x＋6，g(x)＝a₂＋b₂(a₁，a₂，b₂∈R)．
(1)求函數f(x)與g(x)的解析式；
(2)求甲、乙兩個工廠今年5月份的利潤；
(3)在同一直角坐標系下畫出函數f(x)與g(x)的草圖，并根據草圖比較今年1—10月份甲、乙兩個工廠的利潤的大小情況．

Answer 1

(1) f(x)＝4x²－4x＋6. g(x)＝×3^x＋5＝3^x－1＋5.（2）甲、乙兩個工廠今年5月份的利潤相等．(3)作函數圖像如下：

當x＝1或x＝5時，有f(x)＝g(x)； 當1<x<5時，有f(x)>g(x)； 當5<x≤10時，有f(x)<g(x)．

試題分析：(1)依題意：由f(1)=6,解得：a₁＝4， ∴f(x)＝4x²－4x＋6.
由，有，
解得a₂＝，b₂＝5，    ∴g(x)＝×3^x＋5＝3^x－1＋5.
（2）由（1）知甲廠在今年5月份的利潤為f(5)＝86萬元，乙廠在今年5月份的利潤為g(5)＝86萬元，故有f(5)＝g(5)，即甲、乙兩個工廠今年5月份的利潤相等．
(3)作函數圖像如下：

從圖中可以看出今年1—10月份甲、乙兩個工廠的利潤：
當x＝1或x＝5時，有f(x)＝g(x)； 當1<x<5時，有f(x)>g(x)； 當5<x≤10時，有f(x)<g(x)．
點評：與函數有關的應用題，經常涉及物價、路程、產值、環保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優化問題，解答這類問題的關鍵是確切建立相關函數解析式，然后應用函數、方程和不等式的有關知識加以綜合解答