Question

已知雙曲線C的方程為x²-y²=4.橢圓E以雙曲線C的頂點為焦點,且其右頂點A到雙曲線C的漸近線距離為.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若直線y=x與橢圓E交于M、N兩點(M點在第一象限),P、Q是橢圓上不同于M的相異兩點,點O為坐標原點,并且滿足(+)·(-)=0.試求直線PQ的斜率.

Answer 1

解:(1)設橢圓的方程為+=1(a＞b＞0),

由題意,解得因此,橢圓的方程為+=1.

(2)由解之,得或

∴M(,).

∵()·()=0,

即()·=0.

又與∠PMQ的平分線共線,

∴∠PMQ的平分線垂直于x軸.

若PM斜率存在,設PM的斜率為k,則QM的斜率為-k,

因此,PM和QM的方程分別為

y=k(x)+,y=-k(x)+.由

消去y并整理,得(1+3k²)x²-3k(k-1)x+k²-9k=0.(*)

∵M(,)在橢圓上,

∴x=是方程(*)的一個根.

從而x_P=,

同理x_Q=,

從而直線PQ的斜率為

k_PQ====.

∴直線PQ的斜率為.

若直線PM的斜率不存在,則點Q、M重合,與題設不符.

綜上所述,直線PQ的斜率為定值.