Question

函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于直線y=3x+1，若函數(shù)y=f（x）在x=-2時(shí)有極值．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間； 
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，1]上的最大值為10，求f（x）在該區(qū)間上的最小值．

Answer 1

分析：（1）切點(diǎn)在切線上求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)曲線上過點(diǎn)P（1，f（1）） 的切線方程為y=3x+1，且函數(shù)y=f（x）在x=-2 時(shí)有極值得f'（1）=3，f'（-2）=0，建立不等式組，解之即可求出a，b的值；．
（2）先求出其導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值大于0以及小于0即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）先分析出何時(shí)取最大值，結(jié)合最大值為10求出c，再結(jié)合函數(shù)值即可得到f（x）在該區(qū)間上的最小值．

解答：解：（1）由題意知P（1，4），
f′（x）=3x²+2ax+b                        …（2分）
∵曲線上過點(diǎn)P（1，f（1）） 的切線方程平行與y=3x+1，且函數(shù)y=f（x）在x=-2 時(shí)有極值．
∴

3+2a+b=3 12-4a+b=0

，解得 

a=2 b=-4

．
∴f（x）=x³+2x²-4x+c             
（2）∵f'（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）
∴x＞

2

3

，x＜-2，f'（x）＞0；
-2＜x＜

2

3

，f'（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-2）（

2

3

，+∞）
單調(diào)減區(qū)間為：（-2，

2

3

）
（3）∵函數(shù)在[-3，-2）上增，（-2，

2

3

）上減，（

2

3

，1]上增；
且f（-2）=8+c，f（1）=-1+c；f（-3）=3+c，f（

2

3

）=-

40

27

+c；
由函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，1]上的最大值為10，
得f（-2）=8+c=10⇒c=2，
∴f（x）在該區(qū)間上的最小值為：f(

2

3

)=

14

27

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值是切線的斜率；考查函數(shù)單調(diào)遞增對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立．