Question

（02年北京卷理）（13分）

已知是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意的a，b∈R都滿足：

.

   （Ⅰ）求f（0），f（1）的值；

   （Ⅱ）判斷的奇偶性，并證明你的結論；

   （Ⅲ）若，求數列{u_n}的前n項的和S_n.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：.

因為，

        所以

   （Ⅱ）是奇函數.  證明：因為，

         因此，為奇函數.

   （Ⅲ）解法一：由，

         猜測. 下面用數學歸納法證明：

         1° 當n=1時，，公式成立；

 2°假設當n=k時，成立，那么當n=k+1時，

 ，公式仍成立.

         由上兩步可知，對任意成立.所以.

         因為所以，

         .

        解法二：當，

          故

          所以 （以下同解法一）