Question

已知函數f(x)=a+

2

2x+1

．
（Ⅰ）當a為何值時，函數y=f（x）為奇函數；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（lgx）＞0，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（-x）+f（x）=0，可得a+

2

2-x+1

+a+

2

2x+1

=0，化簡可得a的值．
（Ⅱ）由于f(x)=-1+

2

2x+1

為R上的奇函數且單調遞減，由f（lgx）＞0可得f（lgx）＞f（0），故有lgx＜0，由此求得x的范圍．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）為R奇函數，所以對?x∈R，有f（-x）+f（x）=0，
即 a+

2

2-x+1

+a+

2

2x+1

=0，化簡可得 a=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f(x)=-1+

2

2x+1

為R上的奇函數且單調遞減，
所以由f（lgx）＞0可得f（lgx）＞0，
∴f（lgx）＞f（0），
∴lgx＜0，解得0＜x＜1，即x∈（0，1）．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的判斷，利用函數的單調性解不等式，屬于中檔題．