Question

【題目】已知函數f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈R）在定義域內有兩個不同的極值點.

（1）求實數a的取值范圍；

（2）設兩個極值點分別為x1，x2，x1＜x2，證明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22.

Answer 1

【答案】（1）a＞2e（2）證明見解析

【解析】

（1）先對函數求導，然后結合導數與單調性的關系對a進行分類討論，確定導數正負即可求解函數單調性，結合單調性即可求解；

（2）分析要證明不等式特點，進行合理的變形，然后構造函數，結合導數及函數性質可證.

（1）由題意可知，f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）＝alnx﹣2x，

令g（x）＝alnx﹣2x（x＞0），

由函數f（x）在定義域內有兩個不同的極值點，可知g（x）在區間（0，+∞）內有兩個不同的變號零點，

由可知，

當a≤0時，g'（x）＜0恒成立，即函數g（x）在（0，+∞）上單調，不符合題意，舍去.

當a＞0時，由g'（x）＞0得，，即函數g（x）在區間上單調遞增；

由g'（x）＜0得，，即函數g（x）在區間上單調遞減；

故要滿足題意，必有，

解得：a＞2e；

又,∴函數g（x）在（1，）內有一個零點，

又當時，g（x），∴在（）內有一個零點，

∴a＞2e滿足題意.

（2）由（1）可知，，

故要證：，

只需證明：，

即證：不妨設0＜x1＜x2，即證，

構造函數：h（t）＝lnt﹣t2+1（t＞1）其中，

由，所以函數h（t）在區間（1，+∞）內單調遞減，所以h（t）＜h（1）＝0得證.